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밸브의 개폐정도와 유로 단면적 변화가 선형적인 관계를 가지도록 밸브 교축부를 설계하였다. 밸브 내부에서 교축부 즉 유로의 단면적을 조절하기 위한 요소로서 [Fig. 1]에 나타낸 콘(cone) 형상 가동부 및 밸브 시트(valve seat)와 챔버(chamber)로 구성된 바디를 설계하였다. 콘과 바디는 [Fig. 1]에 나타낸 바와 같이 4가지 유형으로 모델링하였다. 유체는 밸브 시트와 콘 사이의 간극을 통과하여 좌우로 이동한다. 콘이 그림과 같이 중립 상태에 있을 때 유로 단면적이 최대가 되고 콘이 x 방향으로 이동하면 밸브 시트와 콘 사이의 간극이 감소하여 밸브 통과 유량이 감소한다. [Fig. 1]의 (a)는 콘의 각도 θ1과 밸브 시트의 각도 θ2가 같도록 설계한 형상이다. (a)는 (b)와 콘 형상은 같지만 (b)에 추가하여 바디에 챔버를 설계함으로써 콘 상부와 바디 사이의 간극을 충분히 확보하도록 설계한 형상이다. (c)는 콘의 각도 θ1을 가변으로 하면서 밸브 시트의 각도 θ2는 일정하게 유지하고, 바디에 챔버를 설치한 형상이다. (d)는 콘의 각도 θ1을 가변으로 하면서 밸브 시트의 각도 θ2도 가변으로 하고, 바디에 챔버를 설치한 형상이다. 설계한 밸브의 직경 ds는 50mm이며, 콘의 x 방향 최대변위는 15mm이다.

[Fig. 1]  
Designed Valve Restriction

설계한 밸브 교축부의 선형성을 확인하기 위하여 ANSYS CFX를 이용한 수치해석을 수행하였다. [Fig. 2]의 유동 모델에 나타낸 바와 같이 밸브 입구와 출구의 배관길이를 각각 밸브 직경 ds의 4배와 6배로 설정하여 유동영역을 확장하였다.

[Fig. 2]  
Flow model

나. 유동해석 결과

콘의 변위 x를 0mm부터 15mm까지 0.3mm간격으로 변화시키며 4가지 유형의 밸브 교축부에 대한 유동해석을 수행한 후, 각 변위의 출구 측 유량을 측정하였다. [Fig. 3]은 밸브를 통과하는 유량식 (5)를 이용하여 변위에 따른 유로단면적을 평가한 결과를 나타낸다. 식 (5)에서 Q는 체적유량, C_d는 유량계수, A와 A_e는 각각 밸브 시트와 콘 사이 교축부의 물리적 단면적과 유량계수를 고려한 유효단면적, ∆p는 밸브 입구측과 출구측 압력차, ρ는 유체밀도를 나타낸다.

[Fig. 3]  
Calculated effective area of designed valves

Q=CdA2∆pρ=Ae2∆pρ

(5)

[Fig. 3]에서 횡축은 콘의 최대 변위 x_max와 유효단면적을 평가한 콘 변위 x와의 비를 나타내고, 종축은 유효단면적을 나타낸다. 그림에서 (a)~(d)는 각각 [Fig. 1]의 (a)~(d) 형상에 대한 분석결과를 나타낸다. [Fig. 3]으로부터 [Fig. 1]의 (a)에 나타낸 교축부 형상이 선형성이 가장 좋으며 x/x_max가 0~0.9 구간에서는 선형적인 관계가 유지됨을 확인할 수 있다. [Fig. 3]에서 (b)는 챔버가 없으므로 유로가 콘 상부와 바디 사이의 간극의 크기에 의해서 제한되므로 x/x_max가 0.3이상이 되면 유효단면적 A_e가 일정하게 유지된다.

[Fig. 1] (a)에 나타낸 밸브 형상에서 콘과 밸브 시트로 이루어지는 교축부 단면적은 [Fig. 4]의 A(x)로 나타낸 부분의 단면적이다. 유효단면적은 A(x)와 밸브의 유량계수 Cd를 이용하여 식 (6)으로 나타낼 수 있다.

[Fig. 4]  
Restriction geometry

Aex=CdAx=Cdπx sinθ1ds-x sinθ1cosθ1

(6)

콘의 변위 x가 지름 d_s에 비하여 매우 작기 때문에 d_s−xsinθ₁cosθ₁≒d_s로 두면 식 (6)을 (7)과 같이 근사할 수 있다.

Ae(x)≒Cd πxdssinθ1

(7)

식 (7)을 이용하여 계산한 교축부 유효단면적과 [Fig. 1]의 (a)에 나타낸 교축부 형상을 적용하여 수치해석으로부터 도출한 결과를 [Fig. 5]에 나타낸다. C_d는 해석결과와의 비교로부터 0.75로 설정하였다. [Fig. 5]로부터 x/x_max가 0~0.9 구간에서는 식 (7)을 이용한 결과와 수치해석 결과가 유사한 결과를 나타냄을 알 수 있다.

[Fig. 5]  
Comparison of results using equation (7) and numerical analysis of [Fig. 1] (a)

밸브의 콘 구동부는 [Fig. 6]과 같이 설계하였다.

[Fig. 6]  
Designed driving part

서보모터에 제어신호가 입력되면 서보모터와 감속기가 웜 샤프트와 웜 휠을 구동한다. 이 구동력은 웜 휠 안쪽 면에 설치된 나사와 콘 하우징 바깥 면에 설치된 나사를 통하여 콘 하우징으로 전달되어 콘이 직선운동 하도록 한다. 이 때 발생한 변위로 콘이 유로를 개폐하며 유로의 개폐정도에 따라 유효단면적이 조절되어 유량이 제어된다.

제작한 콘 형상 밸브와 PC기반 밸브 변위 제어 시스템을 [Fig. 7]에 나타낸다. 콘의 이동에 따른 변위신호는 포텐쇼미터형 변위센서를 설치하여 계측하였고, Labview 기반의 제어 프로그램으로 변위제어를 수행하였다.

[Fig. 7]  
Manufactured valve and valve displacement control system

제작한 밸브는 [Fig. 6]에 나타낸 바와 같이 서보모터, 감속기, 웜 샤프트, 웜 휠을 순차적으로 거쳐서 콘이 구동된다. 그러므로 입력은 서보모터에 가해지는 전압이 되며, 출력은 그에 따라 움직이는 콘의 변위가 된다.

서보모터에서부터 감속기까지는 식 (8), (9)로 나타낼 수 있다.

식 (8), (9)에서 L_a는 전기자 인덕턴스[H], i_a는 전기자 전류[A], V는 전기자에 인가하는 전압에서 역기전력을 뺀 전압[V], R_a는 전기자의 저항[Ω], J_m은 회전자의 관성모멘트[kg·m2], ω_m은 감속기의 각속도[rad/s], B_m은 모터 샤프트와 베어링 사이의 동마찰계수[N/(m/s)], k_v는 전동기 토크 속도 상수[N·m/s], k_t는 전동기 토크 상수[N·m/Arms]를 나타낸다.

서보모터에 인가하는 전압과 감속기의 각속도 간의 관계는 식 (8), (9)를 라플라스 변환하여 식 (10)과 같이 나타낼 수 있다. (Kim, 2012; Whang et al, 1996; Lee, 2016) 식 (10)에서 S는 라플라스 연산자를 나타낸다.

다음으로 감속기부터 웜 샤프트, 웜 휠, 콘 하우징, 콘까지의 전달함수를 구하면 식 (13)과 같다. 식 (13)에서 입력은 감속기의 각속도가 되며 출력은 콘의 변위가 된다.

식 (13)에서 i는 웜 샤프트와 웜 휠의 기어비, x_ω는 웜 휠 한 바퀴 당 콘의 변위[mm/rev]이며 r은 감속기의 감속비이다.

입력이 전압이고, 출력이 콘의 변위인 전달함수는 식 (10)과 식 (13)으로부터 식 (14)와 같이 나타낼 수 있다.

콘의 변위와 유효단면적 간의 관계를 나타내는 식 (7)을 이용하면 입력 전압과 밸브 유효단면적 간의 관계를 식 (15)로 나타낼 수 있다.

제작한 밸브를 구성하는 파라미터를 <Table 1>에 나타낸다.

제어기로는 구성이 간단하고 제어기 게인 도출이 용이한 PID 제어기를 설계하였으며 제어기 게인은 식 (15)를 전달함수로 이용하여 도출하였다.

[Fig. 8]은 식 (14)를 이용한 시뮬레이션 결과와 실험 결과를 비교한 결과를 나타낸다. [Fig. 8]에서는 P 게인을 1, I와 D게인을 각각 0으로 설정하였고, 실선이 식 (14)를 이용한 시뮬레이션 결과, 점선이 실험 결과이다. [Fig. 8]로 부터 시뮬레이션과 실험결과가 잘 일치하므로 식 (14)가 실제 밸브를 잘 나타내고 있음을 알 수 있다.

[Fig. 8]  
Comparison of experiment and simulation

[Fig. 9]는 콘의 최대 변위 15mm를 20단계로 나누어 0.75mm스텝을 20번 연속적으로 제어한 결과를 나타낸다. 이 때 P 게인은 11, I와 D게인은 각각 0으로 설정하였다. [Fig. 9]에서 x_r은 목표 위치를 나타내고, x는 콘의 위치를 나타낸다. [Fig. 10]은 [Fig. 9]의 결과를 오차율로 정리한 결과이다.

[Fig. 9]  
Displacement control experiment result

[Fig. 9]와 [Fig. 10]으로부터 본 연구에서 설계, 제작한 밸브는 간단한 PID제어기로 구동하여도 정밀한 변위제어가 가능함을 알 수 있다. 또한, 식 (7)과 [Fig. 5]로부터 콘의 이동 변위와 밸브 유효단면적간의 선형적인 관계가 얻어짐을 알 수 있으므로 본 연구에서 설계, 제작한 밸브는 정밀한 변위제어에 따른 정밀하고 선형적인 유효단면적 제어가 가능함을 알 수 있다.

[Fig. 10]  
Displacement control error