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<Table 1>과 [Fig. 1]은 AUV를 SNAME(Society of Naval Architects and Marine Engineers) 형식의 물체고정좌표계에 따라 표현한 것이다. 일반적으로 AUV의 6자유도 운동은 식 (1)로 표현이 가능하다.

[Fig. 1] 
Body-fixed and inertial coordinate

여기서 η은 관성 또는 지구고정좌표계를 기준으로 AUV의 위치와 방향을 나타낸다. v는 물체고정좌표계 기준으로 AUV의 나아가는 변위와 회전속도를 나타내고, τ는 물체고정좌표계 기준으로 선박에 작용하는 총 힘과 운동모멘트를 나타낸다. 물체고정좌표계와 지구고정좌표계에 대해서 식 (2)는 병진속도에 관한 것이고, 식 (3)은 회전속도에 관한 것이다.

J₁(η₁)과 J₂(η₂)는 아래의 식 (4), 식 (5)와 같이 나타낸다.

AUV의 운동방정식은 모델링 과정에서 다음과 같은 가정이 이루어졌다(Prestero, 2001).

∙ AUV는 질량이 일정한 강체이다. 즉, 운용 중 AUV의 질량 및 질량분포가 변경되지 않는다.
∙ AUV의 핀이 움직이는 어느 각에서도 받음 각(angle of attack)에 관계없이 실속(失速, stall)하지 않는다. 또한 핀 응답은 즉각적이라고 가정하는데, 이는 핀 액추에이터의 응답시간이 AUV가 움직이는 자세에 대한 응답시간과 비교하여 작다는 것을 의미 한다.
∙ AUV는 균질하고 파도, 파랑 또는 강체 파동 하중이 없는 제한되지 않은 유체에 깊이 잠기게 된다. 즉, 자유표면, 벽 및 바닥에서 멀리 떨어져 위치한다.
∙ 시뮬레이션에서는 메모리 효과가 발생하지 않도록 AUV가 움직이면서 발생시키는 자체 후류를 통과할 때 발생하는 효과는 무시한다.
∙ 물체고정좌표계의 중심은 부력의 중심에 위치한다.
∙ I_xy, I_xz, I_yz가 I_xx, I_yy, I_zz에 비해 매우 작고, y_g값을 매우 작다고 가정한다. I_xy, I_xz, I_yz은 xy축에 대한 관성모멘트, yz축에 대한 관성모멘트, xz축에 대한 관성모멘트이다. I_xx, I_yy, I_zz은 x축에 대한 관성모멘트, y축에 대한 관성모멘트, z축에 대한 관성모멘트이다.

힘과 모멘트를 구성하는 요소들은 동체의 기하학적 형태 및 동작조건에 따라 값이 변할 수 있다. 이러한 구성요소들에 대한 설명은 이 연구의 범위를 벗어나기 때문에 생략하고 Prestero(2001)의 문헌을 인용한다. AUV의 강체동역학에 대한 방정식을 AUV의 힘과 모멘트에 대한 방정식과 결합하면 AUV의 6자유도 운동에 대한 비선형 운동방정식 (6) ~ (11)을 얻을 수 있다. AUV의 비선형 운동방정식은 물체고정식 AUV좌표계 지정을 위한 SNAME 규칙을 따른다.

식 (6)은 써지(surge, x축에 따른 운동)에 관한 식, 식 (7)은 스웨이(sway, y축에 따른 운동)에 관한 식, 식 (8)은 히브(heave, z축에 따른 운동)에 관한 식, 식 (9)는 롤(roll, x축에 대한 회전)에 관한 식, 식 (10)은 피치(pitch, y축에 대한 회전)에 관한 식, 식 (11)은 요(yaw, z축에 대한 회전)에 관한 식이다.

AUV의 비선형 운동방정식으로부터 다음의 절차를 통해 선형 운동방정식을 유도할 수 있다. 심도제어에 영향을 미치는 요인들 u, w, q, θ만 고려한다. 다른 모든 속도 값들은 0으로 설정하고 평면 외 항목들에 대한 방정식은 제외한다(Prestero, 2001; Fossen, 1994). AUV의 깊이 방향 동작에 대해서만 고려된 운동방정식은 식 (12)이다. 이 때 AUV가 정상상태에서 일정한 속도로 이동하고 있다면, 동체는 작은 움직임으로만 구성되고 히브와 피치는 거의 움직임이 없기 때문에 각각의 속도가 0라고 가정하여 선형화를 하게 되면 식 (13), 식 (14)와 같이 간단히 표현된다.

만약 식 (12)에서 무게중심 z_g가 다른 조건들에 비교하여 매우 작다고 가정하면, 식 (15)와 같이 써지를 히브와 피치로부터 분리시킬 수 있다.

식 (13), 식 (14), 식 (15)를 사용하여 상태방정식으로 나타내면 식 (16)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, x는 [w q z θ]^T인 상태벡터이고, w는 z방향 속도를 나타내고, q는 y축 피치각속도를 의미하며, z는 z방향 위치를 나타내고, θ는 y축 피치각을 의미한다. i는 입력벡터로 [δ_s]^T이다. δ_s는 핀각 명령으로써 핀제어기의 출력값이다.

식 (16)을 일반적인 상태방정식 표현인 식 (17)로 나타낼 수 있다.

한편, 히브속도가 다른 조건들과 비교하여 매우 작기 때문에 0으로 가정하고 일반적인 상태방정식으로 표현하게 되면, 운동방정식은 식 (18)과 같이 간단하게 표현이 가능하다.

[Fig. 2]와 같이 AUV의 심도제어를 위해 NPID제어기에 대한 설계를 하였다. 내부제어시스템인 핀제어기로는 식 (19)의 비선형 PD제어기를 사용하였고, 외부제어시스템인 피치제어기로는 식 (20)의 비선형 P제어기를 사용하였다(Lee et al., 2015).

[Fig. 2] 
Depth Plane Control System Block Diagram with RCGAs

여기서, δ_s는 비선형 PD제어기의 출력으로써 핀의 입력각도이고, e_θ는 핀의 목표각 θ_d와 현재 핀각 θ의 오차값이다. K_p는 핀제어기용 비례제어이득이고 K_d는 핀제어기용 미분이득이다.

여기서, e_z는 심도오차 Z_d - Z이고, θ_d는 비선형 P제어기의 출력으로 피치의 입력각도이며, K_γ는 피치제어기용 비례제어이득이다.

K_p(e_θ), Kdeθ,eθ˙, K_γ(e_z)는 오차 e와 오차변화율 e˙에 대한 비선형함수로써 시변이득이다.

비선형 비례동작은 비례이득 또는 현재의 오차에 비례해서 커지며, 비례동작이 너무 커지게 되면 과도한 제어로 인하여 오버슈트가 발생하고, 진동이 일어나게 된다. 빠른 응답속도를 위해서 오차가 클 때 비례이득도 적절히 커질 필요가 있다. 하지만 정상상태에 도달한 후 오차가 작을 때에도 큰 비례이득 값을 유지하면 오차의 영향 이 커지게 되어 진동이 일어날 수가 있고, 또는 경우에 따라서 불안정해질 수도 있다. 이러한 점을 기반으로 비례이득의 크기는 오차에 따라서 적절히 조절될 수 있게 설계된다. K_p,γ는 양의 상수, g_p,γ(e_θ,z)는 두 매개변수 a_p,γ(≥1) 와 c_p,γ(>0)를 갖게 되는 비선형함수이다. 오차가 무한대로 커지게 되면 g_p,γ(e_θ,z)는 상한값 1로 수렴하고, 반대로 오차가 0이면 하한값 (1-1ap,γ)로 수렴한다. 하한값으로 수렴할 때의 크기는 a_p,γ값에 따라 달라진다.

비선형 미분동작은 오차의 변화율과 미분이득에 비례해서 커지고, 비례동작이 커지면 출력도 같이 커지게 될 것을 미리 예측하고 제동을 걸게 된다. 전체 제어기간 동안 필요이상의 제동이 걸리게 되면 응답속도가 느려질 수 있다. 그러나 특정 사이클만 제동을 걸게 되면 비례동작을 더 과감하게 활용할 수 있게 되고 오버슈트도 줄일 수 있다. 따라서 응답이 eθ,eθ˙(>0) 영역의 사이클에 있을 경우 큰 제동이 걸리도록 미분이득의 크기를 변경할 수 있다. K_d는 양의이득, gdeθ,eθ˙는 두 매개변수 a_d(≥1)와 c_d(>0)를 갖는 비선형함수이다. 비선형함수 gdeθ,eθ˙ 또한 0과 1사이의 값을 갖는다.

[Fig. 2]는 RCGAs를 이용하여 핀제어기인 비선형 PD제어기, 피치제어기인 비선형 P제어기의 이득 K_p(e_θ), Kdeθ,eθ˙, K_γ(e_z)를 최적으로 동조하게 된다. 제어기 파라미터 동조시 발생되는 다변수 최적화 문제를 풀기 위해 사용되는 RCGAs는 실수코딩을 채용함으로써 RCGAs의 염색체는 제어기에 사용되는 9개의 파라미터를 유전자로 가지게 된다. 한편, 집단 내 염색체들의 성능이 좋고 나쁨은 적합도 평가를 통해 계량되며, 적합도는 성능지수(목적함수)로부터 계산되어진다. 본 논문에서는 식 (21)의 시간곱절대오차적분 (ITAE : Integral of the Time-weighted Absolute Error) 성능지수를 고려한다.

일반적으로 제곱오차적분 ISE(Integral of the Square Error)는 해석이 용이하여 최적제어기 설계 등에 자주 이용되나 오차가 클 때는 큰 벌점을, 작을 때는 작은 벌점을 주는 결과를 초래해 최적해 부근에서 계수의 변화에 둔감하다. 한편 절대오차적분 IAE(Integral of the Absolute Error)는 오차의 절대크기를 취함으로써 양이나 음의 오차에 균등한 벌점을 부여하는 효과를 주므로 ISE보다 나은 감도를 나타낸다. ITAE는 장시간의 과도현상에 대해 벌점을 주는 매우 유용한 기준으로 IAE나 ISE보다 훨씬 더 변별력이 있으며, 이 적분의 최소값은 시스템의 파라미터들이 변하는 경우에 훨씬 더 잘 정의될 수 있다(Ahn et al., 2018; Kim et al., 2007).

여기서 ψ_γ=[K_γ]^T∈R는 비선형 피치제어기 파라미터로 구성되는 것이고, ψ_p=[K_p,K_d]^T∈R²는 비선형 핀제어기 파라미터로 구성되는 벡터이다. e_z,θ는 설정치와 출력간의 오차이며, t_f는 이후의 적분값이 무시될 수 있도록 충분히 큰 시간이다. 그리고 RCGAs의 탐색성능을 높이기 위해 선형 스케일링(linear scaling)을 사용하였고, 이전 세대

의 최적개체를 생존시키기 위한 엘리티즘(elitism)전략을 사용하였다(Ahn et al., 2007).

본 논문의 제어대상인 AUV의 심도제어기 설계 및 모의실험을 위해 비선형 운동방정식 (6) ~ (11)을 사용한다. AUV의 파라미터 일부는 <Table 2>와 같으며 나머지는 Prestero(2001)를 참조한다. 제어기 파라미터 추정을 위한 RCGAs의 제어변수로 집단의 크기는 30, 재생산 계수를 1.8로 사용하는 구배와 유사한 재생산, 교배확률이 95%인 수정단순교배, 돌연변이 확률이 20%인 동적돌연변이를 선택하였다.

미지의 파라미터 행렬을 탐색하기 위한 탐색구간은 –80<K_p<80, 0.01<T_d<10, -10<K_γ<10, 0.1<a_p<50, 0.1<c_p<50, 0.1<a_d<50, 0.1<c_d<50, 0.1<a_γ<50, 0.1<c_γ<50 으로 설정하였다.

이 때 초기의 AUV는 수면 0[m]에서 일정속도 1.54[m/s]로 운항하고 있으며, 목표심도를 수심 1[m]로 명령한다. <Table 3>의 제어기 파라미터들은 Prestero(2001)가 제시한 극배치법에 의해 선정한 것과 본 연구의 RCGAs에 의해 동조된 결과를 나타낸 것이다.

Prestero(2001)가 극배치법을 통해 제안한 선형제어기와 본 논문에서 제안하는 비선형제어기를 AUV 비선형모델에 적용하여 그 결과를 비교한다.

1) 목표심도에 대한 설정치 추종

2) 과도상태에서 지속적인 바이어스 형태의 피치각 외란

3) 정상상태에서 지속적인 바이어스 형태의 피치각 외란

4) 측정용 센서에 잡음이 섞였을 경우

여기서 지속적인 바이어스 형태의 외란이란 AUV가 잠수하는 중에 수중에서 물방울이나 외부 환경 변화에 의해 피치각의 변화가 있는 경우 등이다. 제안한 비선형제어기의 추종성능을 알아보기 위해 목표심도를 0[m]에서 –10[m]로 변경시켰다. 핀각의 작동범위는 ±35[°], 피치각의 작동범위는 ±15[°]로 제한하는 포화기가 설치되어 있다. 초기 상태 u는 1.54[m/s](약 3[knots]), ϕ는 –0.0873[rad]이며, 나머지 v, w, p, q, r, θ, ψ는 0이다.

가. 목표심도에 대한 설정치 추종제어

[Fig. 3]에서 제안된 비선형 PD제어기와 Prestero(2001)의 선형 PD제어기는 거의 동일한 추종 성능을 보이고 있다. 두 제어기 모두 정상상태 오차값 0.04[m]로 심도 –9.96[m]에 수렴하였다. 비선형 PD제어기는 명령 초기 오차가 클 때는 오차를 줄이기 위해 빠른 응답성능을 보이고, 설정치에 도달하게 되면 오차가 작아지기 때문에 제어기 이득값을 조절하여 설정치 부근에서 제어대상의 급격한 움직임이 없도록 하고 있다. [Fig. 4]는 비선형 PD제어기 파라미터가 오차에 따라 변화되는 것을 보여준다.

[Fig. 3] 
Depth Tracking Response for Non-linear AUV Model

[Fig. 4] 
Changed Parameters of Non-linear Controllers

나. 과도상태에서 지속적인 바이어스 형태의 피치각 외란제어

비선형 AUV모델에 대한 심도제어 도중 과도상태인 30[s]부터 피치각에 +0.3[rad]에 해당하는 외력이 지속적으로 작용한다고 가정하여 시뮬레이션을 실시하였다. [Fig. 5]는 각각의 제어기를 시뮬레이션 한 것이다. [Fig. 5]의 2번째 그림은 Z, depth[m]에 대하여 x축인 time을 40[s] ~ 70[s] 범위로 확대시킨 그래프이다. Prestero(2001) 선형PD제어기를 사용하였을 때 목표 설정치의 2[%] 내에 도달하지 못하였다. 그러나 비선형 제어기를 사용한 경우 –10.25[m]에 수렴하였지만 Prestero(2001) 선형 PD제어기를 사용한 경우 목표심도값에서 점차 벗어나는 것을 확인하였다.

[Fig. 5] 
Disturbance response of Non-linear AUV Model (at 30[s], transient state)

다. 정상상태에서 지속적인 바이어스 형태의 피치각 외란 부가

비선형 AUV 모델에 대한 심도제어 도중 정상상태인 60[s]부터 피치각에 +0.25[rad]에 해당하는 외력이 지속적으로 작용한다고 가정하여 시뮬레이션을 실시하였다. [Fig. 6]은 각각의 제어기를 사용했을 때의 그래프를 나타낸 것이다. [Fig. 6]의 2번째 그림은 Z, depth[m]에 대하여 x축인 time을 60[s] ~ 80[s] 범위로 확대 시킨 그림이다. 비선형 PD제어기를 사용한 경우 회복시간(Recovery Time) 8.9061[s] 후 목표 심도값의 2[%] 이내에 도달하였지만, Prestero(2001) 선형 PD제어기를 사용한 경우에는 도달하지 못하였다.

[Fig. 6] 
Disturbance response of Non-linear AUV Model (at 60[s], steady state)

라. 심도 측정용 센서 및 피치각 측정용 센서에 잡음이 섞였을 경우

심도제어 도중 심도 측정용 센서 및 피치각 측정용 센서에 잡음이 섞였을 경우를 가정하여 시뮬레이션 한다. 심도 측정용 센서 및 피치각 측정용 센서의 잡음(noise)은 모두 평균이 0이고 분산이 0.05인 정규잡음이라고 가정하였다. [Fig. 7]과 [Fig. 8]은 각각 이러한 잡음이 있는 경우에 제안한 비선형 PD제어기와 Prestero(2001) 선형 PD제어기에 의한 응답을 나타낸 것이다. [Fig. 7]에서 비선형 PD제어기는 미분필터가 없음에도 불구하고 충분히 추종성능을 보이고 있는 것을 나타내고 있다. 반면에 [Fig. 8]에서 Prestero(2001)선형 PD제어기는 잡음에 의해 명령심도를 추종 하지 못하고 있다. 즉, 비선형 PD제어기만으로도 측정잡음이 약간 섞이는 시스템에서 충분히 만족 할 만한 제어성능을 얻을 수 있다.

[Fig. 7] 
Depth Tracking response of Non-linear AUV Model with sensor noise using Non-linear Controller

[Fig. 8] 
Depth Tracking response of Non-linear AUV Model with sensor noise using Prestero T. Linear Controller

[Fig. 7]과 [Fig. 8]의 4번째 그림은 δ_s, 핀각[°]에 대하여 x축인 time을 20[s] ~ 21[s] 범위로 확대시킨 그림이다.