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지능제어를 포함한 제어이론의 획기적인 발전에도 불구하고 산업공정을 비롯한 석유·화학, 기계·전기 분야 등 대부분의 산업현장에서는 종래의 PID 계열의 제어기가 많이 사용되고 있다(Åström et al., 2001; Desborough et al., 2002). 이유는 PID 제어기는 구조가 간단하여 구현이 쉽고, 조정해야 할 파라미터의 수가 적어 현장 기술자들이 비교적 쉽게 조작할 수 있으면서도 산업현장에서 요구하는 제어목적을 어느 정도 만족시킬 수 있기 때문이다. 현재까지 많은 연구자들이 프로세스의 모델에 기반하여 PID 제어기를 설계하고 동조하는 방법을 다양하게 연구하여 왔다. 모델기반 제어기 설계에서의 모델은 주로 FOPTD(First Order Plus Time Delay), SOPTD(Second Order Plus Time Delay), PIPTD(Pure Integrating Plus Time Delay) 등이 많이 이용되어 왔다. 또한 PID 제어기를 설계하고 동조하는 방법들이 다양하게 제안되고 보고되어 있다(Pathiran et al., 2014). 즉, 경험적 방법(Ziegler et al., 1942), 분자/분모의 계수일치 방법(Chidambaram et al., 2003), 주파수영역 방법, 안정성 분석 방법(Luyben WL, 2003), 최적화 방법(Tavakoli et al., 2003; Cvejn J, 2009; Ali et al., 2011), 내부모델 제어(IMC; Internal Model Control) 방법(Lee et al., 2014; Shamsuzzoha M, 2015), 직접합성(DS; Direct Synthesis) 방법(Chen et al., 2002; Anil et al., 2015), 비선형제어 기법 및 2자유도(2-DOF; Two-Degree of Freedom) 제어 기법(Wu et al., 2020) 등이 있다.

Ziegler et al.(1942)는 제시된 플랜트의 과도응답특성에 기초하여 비례이득, 적분시간 및 미분시간의 값을 결정하기 위해 개루프법과 폐루프법을 제안했다. 개루프법은 시간지연이 1차 시간지연 프로세스를 제어하기 위한 것이고, 폐루프법은 임계진동이 있는 프로세스를 제어하기 위한 것이다.

Chidambaram et al.(2003)은 시간지연이 있는 순수적분 프로세스(PIPTD)를 제어하기 위해 PD 또는 PI/PID 제어기의 간단한 동조규칙을 제안했다. 이 방법은 설정값에서 출력까지의 폐루프 전달함수의 분자에 있는 s의 거듭제곱의 각 계수가 분모에 있는 해당 거듭제곱의 각 계수를 α배한 것과 같도록 함으로써 PID 계열 제어기의 파라미터를 구하며 시간지연 항은 Pade의 1차식으로 근사화한다. 여기서 α가 1이면 PD 제어기가 유도되고 1보다 크면 PI 또는 PID 제어기가 유도된다.

Tavakoli(2003)는 차원해석 및 최적화 기법을 사용하여 FOPTD 프로세스 모델에 대한 PID 제어기를 동조하는 방법을 제안했으며 성능평가지수로 제곱오차적분 (ISE ; Integral of Squared Error), 절대오차적분 (IAE; Integral of Absolute Error) 및 시간가중절대오차적분 (ITAE; Integral Time weighted Absolute Error)을 사용하였다.

Skogestad(2003)는 FOPTD 및 SOPTD 프로세스 모델과 시간지연이 있는 다양한 적분프로세스를 제어하기 위해 PID 제어기의 파라미터를 해석적으로 동조하는 규칙(SIMC)과 고차의 프로세스를 FOPTD 모델 또는 SOPTD 모델로 근사화하는 기법을 제안했다. 프로세스를 FOPTD 모델로 근사화하면 PI 제어기가 유도되고, SOPTD 모델로 근사화하면 PID 제어기가 유도된다.

Lee et al.(2014)은 PID 제어기를 동조하기 위한 Skogestad(2003)의 SIMC 방법을 다시 검토하고 새로운 방법 (K-SIMC)을 제안했다. 이 방법에서는 Skogestad가 제안한 프로세스의 근사화 방법을 일부 수정하고 Skogestad의 방법보다 적분시간을 더욱 제한하는 새로운 동조규칙과 Skogestad의 방법에서 사용하지 않았던 설정값 필터의 사용을 제안했다.

Shamsuzzoha(2015)는 시간지연이 있는 여러 유형(PIPTD, FOPTD, SOPTD)의 프로세스에 대해 IMC 기법을 기반으로 설정값 필터를 가지는 2-DOF PID 제어기의 설계 및 동조 기법을 제안하였다. 또한 설정값 추종성능을 향상시키기 위해 PI 제어기에 대해서는 1차 진상/지상 설정점 필터를, PID 제어기에 대해서는 2차 진상/지상 필터를 사용하였다.

시간지연이 있는 1차 프로세스는 해양수산분야에서 대부분의 선박에 설치되어 있는 열교환기의 온도제어가 이에 해당되며 이러한 시간지연 프로세스의 제어는 어렵다. 즉, 응답속도를 높이기 위해 PID 제어기의 이득을 크게 하면 오버슈트가 크게 되어 불안정하게 될 수 있고, 반대로 오버슈트를 줄이기 위해 이득을 감소시키면 응답속도가 느려져 응답성능이 저하된다. 이와 같은 상반된 관계 때문에 우수한 응답성능과 안정성 간에 적절한 타협이 필요하다. 또한, 파라미터가 고정된 기존의 제어기는 설계 시의 조건과 다른 제어 환경에서 사용하면 우수한 성능을 기대할 수 없을 뿐만 아니라 경우에 따라 불안정해질 수도 있기 때문에 안정 여유를 확보해야 한다.

본 논문에서는 IMC 원리를 기반으로 한 IMC-PID 제어기 설계 및 동조 기법을 제안한다. PID 제어기의 파라미터를 구하기 위한 조정 파라미터는 IMC 필터의 시정수 하나뿐이고 이것은 제어시스템의 강인성과 성능을 조절하는 수단으로 사용된다. 또한 제어시스템의 안정성을 보증하기 위해 상대감도 함수의 최대 크기인 MS를 고려하여 제어기를 동조한다. 제안한 기법을 2 개의 FOPTD 모델에 적용하고, 시뮬레이션을 통해 Lee et al. (2014)의 방법 및 Skogestad(2003) 방법과 비교하여 제안한 방법의 유효성을 확인한다.

이 장에서는 FOPTD 모델에서 L/T 의 비를 다르게 하여 두 가지 프로세스에 대해서 IMC-PID 제어기(이후 Proposed라 함), Lee et al.(2014)의 PID 제어기(이후 Lee라 함), Skogestad(2003)의 PI 제어기(이후 SK라 함)를 각각 동조한 후, 시뮬레이션을 수행한다.

Lee의 IMC 동조법(2014)은 다음과 같다.

PID 제어기:

SK의 동조법(2003)은 다음과 같다.

PI 제어기:

시뮬레이션은 각 프로세스마다 크게 두 가지의 경우에 대해서 수행한다. 하나는 프로세스의 파라미터 값이 변하지 않은 공칭 프로세스(nominal process)의 경우이고, 다른 하나는 제어시스템의 강인성을 알아보기 위해 운전 중 프로세스의 파라미터가 공칭 프로세스의 파라미터에 대해 각각 10% 변한 경우이다. 이러한 프로세스의 파라미터 변화는 알 수 없으므로 불확실성(uncertainty)으로 취급한다. 불확실성으로 파라미터의 변화가 10% 있는 것으로 가정하되 가장 가혹한 조건의 경우를 고려한다. 일반적으로 FOPTD 모델에서 이득과 시간지연은 큰 쪽으로 변할 때, 프로세스의 시정수는 작아지는 쪽으로 변할 때 제어하기가 어려워진다. 따라서 이득 및 시간지연은 각각 10% 증가하고 프로세스의 시정수는 10% 감소하는 경우를 고려한다.

각 시뮬레이션에서 설정값 추종성능에 대한 정량적 비교를 위해 상승시간 t_r=t₉₀ - t₁₀=, 2% 정정시간 t_s, 백분율 오버슈트 %OS, 절대오차의 적분(IAE_s ; Integral of Absolute Error)의 관점에서, 외란제거 성능에 대한 정량적 비교를 위해 2%의 회복시간 t_rcy, IAE_d, 최대 피크오차 M_p를 사용한다. 이때 M_p = |y-y_max| 또는 |y-y_min|를 의미한다. IAEs 및 IAEd에서 첨자 s와 d는 설정값 및 부하외란을 의미한다. 총괄적인 성능평가는 t_r, t_s, OS[%], t_rcy, M_p를 고려하여 최종적으로 IAE_s 및 IAE_d를 기반으로 평가한다. 이들 값이 작으면 작을수록 성능이 좋은 것이다.

1. 프로세스 P₁ 시뮬레이션

프로세스 P₁은 FOPTD 모델에서 L/T =0.2인 경우로 그 값이 비교적 작은 값이다.

제안한 IMC-PID 제어기의 파라미터를 동조할 때 안정성을 보장하기 위해 MS=1.7을 선택한다. 이 MS값을 맞추기 위해 IMC 필터의 시정수 T_c값을 조정하면 1.0876이 된다. 비교대상의 제어기는 식 (11)과 식 (12)에 따라 동조한다.

<Table 1>은 제안한 방법 및 기존의 방법에 의해 동조한 제어기의 파라미터, T_c, MS를 요약하여 정리한 것이다.

<Table 1> 
Controller parameter tuning for process P₁

P1=e-s5s+1
Tuning Methods	Parameters				Remark
	Kp	Ti	Td	Te	MS
Proposed	3.4643	5.5	0.4545	1.0876	1.7
Lee	2.5744	4.711	0.0289	0.9422	1.6
SK	2.5	5	-	1	1.6

설정값으로 t=0초 시점에, 부하외란으로 t=20초 시점에 계단상의 단위입력을 공칭 프로세스에 인가하였을 때의 설정값 추종응답 및 외란제거 응답과 그때의 제어입력이 [Fig. 4]에 표시되어 있으며, 세밀한 정량적 비교를 위해 <Table 2>에 t_r, t_s, OS[%], IAE_s, t_rcy, M_p, IAE_d 등의 성능평가지수 값을 요약하여 나타내었다. 설정값 추종응답에서 3가지 방법 모두 비슷한 성능을 나타내지만 외란제거 성능에서는 제안한 방법의 M_p와 IAE_d가 작기 때문에 다른 두 방법보다 우수함을 확인할 수 있다.

[Fig. 4] 
Step responses and control inputs for nominal process P₁.

<Table 2> 
Performances for nominal process P₁

P1=e-s5s+1
Tuning Methods	Tracking Performances				Disturbance Performances
	tr[s]	ts[s]	OS[%]	IAEs	trcy[s]	Mp	IAEd
Proposed	1.51	10.24	3.43	2.11	23.65	0.22	1.59
Lee	1.88	6.27	4.52	2.19	21.26	0.29	1.83
SK	1.90	6.11	4.28	2.18	23.09	0.29	2.00

제어시스템의 강인성을 알아보기 위해 운전 중 프로세스의 파라미터가 공칭 프로세스의 파라미터에 대해 가장 가혹한 조건으로 각각 10% 변한 P2un=1.1e-11s/4.5s+1인 경우를 고려한다.

[Fig. 5]에 설정값 추종 및 외란제거 응답과 그때의 제어입력이 표시되어 있으며, 세밀한 정량적 비교를 위해 <Table 3>에 다양한 성능평가지수 값을 요약하여 나타내었다. [Fig. 5] 및 <Table 3>으로부터 제안한 방법이 설정값 추종응답에서 다른 두 방법보다 우수한 성능을 나타내고 있음을 확인할 수 있다. Lee의 방법과 SK의 방법은 거의 비슷한 응답을 나타내지만 Lee의 방법이 조금 더 우수하다. 특히 제안한 방법은 OS[%] 및 M_p가 작다.

[Fig. 5] 
Step responses and control inputs for 10% uncertainty process P1un.

<Table 3> 
Performances for 10% uncertainty process P1un

P1un=1.1e-1.1s4.5s+1
Tuning Methods	Tracking Performances				Disturbance Performances
	tr[s]	ts[s]	OS[%]	IAEs	trcy[s]	Mp	IAEd
Proposed	0.97	7.14	10.18	1.99	22.82	0.26	1.59
Lee	1.30	7.75	19.34	2.34	20.73	0.34	1.83
SK	1.39	8.53	15.19	2.34	22.44	0.34	2.00

따라서 제안한 방법이 공칭 프로세스와 프로세스의 불확실성에 대해서 다른 두 방법보다 우수함을 알 수 있다.

2. 프로세스 P₂ 시뮬레이션

프로세스 P₂는 FOPTD 모델에서 L/T =2인 경우로 시간지연이 프로세스 P₁보다 10배 큰 시스템이다. 제안한 IMC-PID 제어기의 파라미터를 동조할 때 안정성을 보장하기 위해 MS=1.6을 선택한다. 이 MS값을 맞추기 위해 IMC 필터의 시정수 T_c값을 조정하면 12.4519가 된다. 비교대상의 제어기는 식 (11)과 식 (12)에 따라 동조한다.

<Table 4>는 제안한 방법 및 기존의 방법에 의해 동조한 제어기의 파라미터, T_c, MS를 요약하여 정리한 것이다.

<Table 4> 
Controller parameter tuning for process P₂

P2=e-10s5s+1
Tuning Methods	Parameters				Remark
	Kp	Ti	Td	Tc	MS
Proposed	0.5730	10	2.5	12.4519	1.6
Lee	0.3447	6.1206	0.9154	7.7588	1.6
SK	0.25	5	-	10	1.6

설정값으로 t=0초 시점에, 부하외란으로 t=100초 시점에 계단상의 단위입력을 공칭 프로세스에 인가하였을 때의 설정값 추종응답 및 외란제거 응답과 그때의 제어입력이 [Fig. 6]에 표시되어 있으며, 세밀한 정량적 비교를 위해 <Table 5>에 다양한 성능평가지수 값을 요약하여 나타내었다.

[Fig. 6] 
Step responses and control inputs for nominal process P₂.

<Table 5> 
Performances for nominal process P₂

P2=e-10s5s+1
Tuning Methods	Tracking Performances				Disturbance Performances
	tr[s]	ts[s]	OS[%]	IAEs	trcy[s]	Mp	IAEd
Proposed	12.23	47.12	0	17.45	71.77	0.87	17.45
Lee	15.45	53.85	4.91	19.55	68.89	0.87	18.79
SK	19.04	60.59	4.07	21.69	76.49	0.89	21.32

설정값 추종응답에서 제안한 방법은 모든 성능평가지수에서 다른 두 방법보다 우수하고 특히 t_s가 매우 작고 OS[%]가 없다. 외란제거성능에서는 제안한 방법과 Lee의 방법이 비슷한 성능을 나타내지만 SK의 방법은 t_rcy와 IAE_d가 크다.

제어시스템의 강인성을 알아보기 위해 앞의 경우처럼 공칭 프로세스의 파라미터에 대해 가장 가혹한 조건으로 각각 10% 변한 P2un=1.1e-11s/4.5s+1인 경우를 고려한다.

[Fig. 7] 및 <Table 6>으로부터 설정값 추종성능 및 부하외란 제거성능의 모든 성능평가지수에서 제안한 방법이 월등히 우수함을 확인할 수 있다.

[Fig. 7] 
Step responses and control inputs for 10% uncertainty process P2un

<Table 6> 
Performances for 10% uncertainty process P2un

P2un=1.1e-11s4.5s+1
Tuning Methods	Tracking Performances				Disturbance Performances
	tr[s]	ts[s]	OS[%]	IAEs	trcy[s]	Mp	IAEd
Proposed	8.70	46.32	6.19	16.80	63.16	1.01	17.45
Lee	12.27	52.52	12.92	20.54	68.71	1.01	21.04
SK	15.36	59.62	10.50	22.24	75.94	1.02	23.73

따라서 제안한 방법이 공칭 프로세스와 프로세스의 불확실성에 대해서 다른 두 방법보다 우수함을 알 수 있다.

일반적으로 프로세스의 응답속도를 높이기 위해 제어기의 이득을 크게 하면 오버슈트가 크게 되어 불안정하게 될 수 있고, 반대로 오버슈트를 줄이기 위해 이득을 감소시키면 응답속도가 느려져 응답성능이 저하된다.

본 논문에서는 FOPTD 모델을 제어대상으로 하고 응답성능과 안정성 간의 상반된 개념을 적절히 타협을 할 수 있는 IMC 방법에 기반을 둔 PID 제어기의 설계 방법을 제안하고 제어기의 파라미터를 동조하는 방법을 다루었다. 이를 위해 제어기를 동조할 때 제어기의 강인성에 직접 관련 있는 감도함수의 최대 크기인 MS를 고려하고 이에 따라 IMC 필터의 시정수를 조정하였다.

제안한 방법을 L/T의 값이 비교적 작은 프로세스 P₁과 이것보다 10배 큰 프로세스 P₂의 1차 시간지연 시스템의 제어에 적용하였고, 그 성능을 검증하기 위해 Lee의 방법 및 Skogestad 방법과 비교한 결과 제안한 방법이 우수한 제어성능을 나타내고 있음을 확인할 수 있었다. 차후 주어진 강인성 수준을 쉽게 만족시킬 수 있는 IMC 필터의 시정수 결정을 위한 지침을 제공하기 위한 연구가 필요하다고 사료된다.