오차 스케일링 기법에 기초한 비선형 PID 제어기 설계 및 전기-유압 서보시스템에의 응용

본 연구에서는 표준형 PID 제어기에서 일어날 수 있는 미분폭주 현상을 줄이기 위해 표준형 NPID 제어기의 미분동작 부분을 식 (4)처럼 변경한 것을 사용하며 세 이득은 시변적으로 변경된다.

여기서 K_p(e)와 K_i(e)는 오차의 비선형 함수로서 각각 시변 비례이득 및 시변 적분이득이고, $$ K_d\left(e,\dot{e}\right)$$는 오차 및 오차 변화율의 부호에 따라 달리 선택되는 비선형 함수로서 시변 미분이득이다. $$ T_d\left(e,\dot{e}\right)=K_d\left(e,\dot{e}\right)/K_p\left(e\right)$$는 미분시간이며, N은 8~20 사이에서 경험적으로 정해지는 상수이고 여기서는 10이 사용된다(Åström, 2006).

[Fig. 1]은 제안한 NPID 제어시스템을 블록선도로 나타낸 것이다(So, 2014).

[Fig. 1]

Proposed NPID control system

(1) 비선형 비례이득(Nonlinear proportional gain)

비례동작은 비례이득과 현재 오차의 크기에 비례해서 커지며, 응답 속도를 높이기 위해서 오차가 클 때에 비례이득도 적절히 크게 해줄 필요가 있다. 하지만, 응답이 설정치 부근에 도달해 오차가 작을 때에도 계속 큰 비례이득을 유지하면 과도한 제어로 오버슈트와 진동현상이 일어날 수 있다. 이 점을 고려해 NPID 제어기의 비례이득 K_p(e)는 오차의 크기에 따라 적절히 비선형적으로 조절되도록 식 (5)와 같은 함수를 제안한다.

여기서 k_p는 양의 상수이고, g_p(e)는 두 매개변수 a_p(≥1) 와 c_p(>0)를 가지는 비선형 함수이다. 식 (5b)에서 오차가 무한대로 커지면 g_p(e)는 상한값 1로 수렴하고, 반대로 오차가 0이면 하한값 (1-1/a_p)로 수렴하며 그 크기는 a_p값에 따라 달라진다.

[Fig. 2]는 a_p와 c_p 중 한 개는 고정하고 나머지 한 개를 변화시켰을 때 오차에 대한 g_p(e)의 변화 형태를 보여준다. g_p(e)가 작아지는 지점의 깊이는 a_p값에 의해 결정되며 a_p값이 작을수록 깊어진다. c_p값은 폭을 결정하며 c_p값이 작을수록 폭은 넓어진다.

[Fig. 2]

Shapes of gp(e) to changes of ap and cp

(2) 비선형 적분이득(Nonlinear integral gain)

적분동작은 누적오차 값이 클수록 또는 적분이득이 클수록 커진다. 오차의 절대값이 클 때에는 적분이득 값을 줄여 오버슈트 발생에 대비하고, 오차의 절대값이 작을 때에는 적분이득 값을 크게 해서 정상상태 오차를 줄이도록 적분이득을 설계한다. 이를 위해 식 (6)의 함수를 제안한다.

여기서 k_i는 양의 이득이고, g_i(e)는 c_i(> 0)를 파라미터로 갖는 비선형 함수이며 0과 1 사이의 값을 갖는다.

[Fig. 3]은 c_i가 1, 2, 3일 때 오차의 변화에 따른 g_i(e)의 모양을 나타낸 것으로 c_i는 함수의 폭을 결정하며 c_i값이 작을수록 폭은 넓어진다. 그림에서 보는 것과 같이 오차가 0이면 g_i(e)는 상한값 1로 수렴하고 반대로 오차가 무한대로 커지면 하한값 0으로 수렴하는 것을 알 수 있다.

[Fig. 3]

Shapes of gi(e) to changes of ci

(3) 비선형 미분이득((Nonlinear derivative gain)

미분동작은 오차의 변화율과 미분이득에 비례해서 커지고, 비례동작과 적분동작이 커지면 출력도 같이 커질 것을 미리 예측하고 제동을 걸게 된다. 전체 제어 사이클 동안 필요 이상의 제동을 걸면 응답속도가 느려질 수 있다. 그러나 만약 특정 사이클 동안만 제동을 걸면 비례동작과 적분동작을 더 과감하게 활용할 수 있어 오버슈트도 줄일 수 있다. 따라서 오차와 오차 변화율의 곱이 양($$ e\dot{e}>0$$)인 영역에서 좀 더 큰 제동을 걸도록 미분이득의 크기를 변경하며 이를 위해 식 (7)로 기술되는 시변 함수의 사용을 제안한다.

여기서 k_d는 양의 이득이고, $$ g_d\left(e,\dot{e}\right)$$는 두 매개변수 a_d(≥1)와 c_d(>0)를 가진 비선형 함수이고 역시 0과 1 사이의 값을 갖는다.

[Fig. 4]는 현재의 오차와 오차의 변화율 $$ \dot{e}$$를 변화시켜 가며 $$ g_d\left(e,\dot{e}\right)$$를 그린 것이다. 그림의 $$ e\dot{e}>0$$ 평면에서 e의 절대값이 크면 $$ g_d\left(e,\dot{e}\right)$$는 1로 수렴하고, 반대로 작으면 (1-1/a_d)에 수렴하지만 그 크기는 a_d값에 따라 달라진다.

[Fig. 4]

Shapes of gde,e˙ to changes of e and e˙

한편 식 (4)에 있는 $$ T_d\left(e,\dot{e}\right)=K_d\left(e,\dot{e}\right)/K_p\left(e\right)$$로부터 구할 수 있다.

앞에서 설명한 것처럼 제안하는 NPID 제어기는 3개의 시변이득 $$ K_p\left(e\right),K_i\left(e\right),K_d\left(e,\dot{e}\right)$$를 가지며 여기에는 총 8개의 조정해야 할 파라미터가 존재한다. 각 파라미터를 동조할 때 실제 조작기(actuator)의 동작에는 한계가 있으므로 제어기와 플랜트 사이에는 다음과 같은 비선형 포화기가 있는 것으로 가정하며 u_min = -250, u_max = 250으로 하였다.

이들 파라미터에 대한 동조는 포화기 및 전기-유압서보 모델 P(s)가 결합된 전체 제어 시스템이 원하는 설정치 추종 성능을 만족하도록 적절히 수행된다. 이때 일어나는 다변수 최적화 문제는 [Fig. 5]와 같이 RCGA(Real Coded Genetic Algorithm)를 이용하여 해결한다.

[Fig. 5]

Tuning of the NPID controller with a saturator

시스템의 성능이 좋고 나쁨을 계량하기 위해 식 (10)의 ITAE(Integral of time-weighted absolute error)를 성능지수로 사용한다.

여기서 ϕ= [k_p,k_i,k_d,a_p,c_p,c_i,a_d,c_d]^T∈R⁸은 NPID 제어기의 이득과 관련된 조정할 파라미터로 구성되는 벡터이고, e(t)는 오차, y_r(t)는 설정치, y(t)는 출력이며, 적분시각 t_f는 이후의 적분 값이 무시될 수 있도록 충분히 큰 값이다.

RCGA로 조정 파라미터를 최적화 할 때 각 파라미터는 구간 0≤k_p≤600, 0≤k_i≤100, 0≤k_d≤50, 1≤a_p,c_p,c_i,a_d,c_d≤50에서 탐색되었으며, 집단의 크기 Psize= 50, 교배확률 Pc= 0.9, 돌연변이 확률 Pm= 0.05, 돌연변이 매개변수 b= 5를 사용하였다.

[Fig. 6]은 최적으로 동조하는 과정을 나타낸 것이고. 약 60 세대에서 해를 찾는 것을 알 수 있다.

[Fig. 6]

RCGA-based evolutionary tuning

Chen-NPID 제어기 내에 있는 10개의 미결정 파라미터 값은 PSO(Particle Swarm Optimization) 알고리즘에 의해 ITAE를 최소로 하는 관점에서 탐색되었는데 본 논문에서는 Chen et al.(2012)의 연구 결과를 그대로 사용하였다. 또한, Chen-LPID 제어기의 이득도 그들의 논문에서 제시한 값을 그대로 인용하여 사용하였다. <Table 1>은 각 제어기 내에 있는 동조된 파라미터들을 정리한 것이다.

<Table 1>

Tuned parameters of the controllers

[Fig. 7]은 설정치 추종 성능을 확인하기 위해 각 제어기들의 계단상 응답과 그 때의 제어입력 을 나타낸 것으로 시스템 내에는 비선형성 마찰을 포함하고 있다. [Fig. 8]은 이때 제안한 NPID 제어기의 각 이득 값이 시간에 따라 변화되는 것을 나타낸 것이다. 시변 비례이득은 오차가 클 때 크고 오차가 어느 정도 작아지면 급격히 작아진다. 시변 적분이득은 오차가 클 때 작고 오차가 작을 때는 커져서 정상상태 오차를 줄일 수 있음을 알 수 있다. 시변 미분이득은 응답의 그래프에서 오차가 양이고 오차의 변화율이 음이므로 변하지 않는다.

[Fig. 7]

Set-point tracking responses and control inputs

[Fig. 8]

Change of NPID parameters

각 제어기들의 성능을 정량적으로 평가하기 위해 도달시간 t_r과 봉우리 시간 t_p, 오버슈트 M_p, 2% 정정시간 t_s, 절대오차의 적분(Integral of Absolute Error: IAE)을 사용하였다. 이때 M_p = |y - y_max| 또는 |y - y_min|를 의미한다. <Table 2>는 이들을 계산하고 요약한 것이다.

<Table 2>

Set-point tracking performances

[Fig. 7]과 <Table 2>에서 알 수 있듯이 제안한 NPID 제어기에는 약간의 오버슈트가 발생하지만 무시할 수 있을 정도이며, Chen et al.(2012)이 제안한 제어기보다 더 짧은 상승시간 t_r과 정정시간 t_s를 나타내고 있고 IAE도 훨씬 작다. 특히 Chen이 비교대상으로 택한 LPID 제어기는 추종하는데 많은 시간이 걸린다.

실제 적용에서는 계측잡음의 포함될 수 있다. 잡음에 대해 제안한 NPID 제어기의 강인함을 입증하기 위해 피드백 되는 출력신호에 0.03×sin(500t)+0.002×(300t) 크기의 잡음에 의해 교란되는 것으로 간주하고 시뮬레이션을 실시하였다.

[Fig. 9]와 <Table 3>에서 알 수 있듯이 제안한 NPID 제어기와 Chen-NPID는 잡음이 있더라도 성능 변화가 거의 없지만, Chen-LPID 제어기는 제어 입력이 빠른 속도로 진동하는 것을 알 수 있다.

[Fig. 9]

Set-point tracking responses and control inputs

<Table 3>

Set-point tracking performances

다음은 제어시스템이 외란에 대해서도 강인하다는 것을 입증하기 위해 유압모터가 설정치 만큼 회전하여 있는 상태에서 3초 시점에 설정치의 약 20%에 해당하는 계단상의 각변위 외란을 부가하였다.

[Fig. 10]은 이때의 응답과 입력을 나타낸 것이다. 이 경우에도 제안한 방법은 효과적으로 외란을 억제하고 있지만 Chen에 의한 방법은 회복시간이 길다는 것을 확인할 수 있다.

[Fig. 10]

Disturbance rejection responses and control inputs

각 제어기들의 성능을 정량적으로 평가하기 위하여 외란의 영향이 소멸되고 출력이 설정치로 회복되는데 걸리는 회복시간 (Recovery time) t_rcy와 절대오차의 적분 IAE를 구하였다. t_rcy는 출력 y가 설정치 y_r의 2% 이내로 회복되는데 걸리는 시간을 의미한다. 제안한 제어기의 회복시간은 Chen-NPID보다 약 2.7배 짧아진 것을 볼 수 있고 IAE도 제일 작다.

<Table 4>

Set-point tracking performances